2.1 Verschieben von durchschnittlichen Modellen (MA-Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Ausdrücke enthalten. In Woche 1 lernten wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Zum Beispiel ist ein lag 1 autoregressiver Term x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Begriffe. Ein gleitender Mittelwert in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Lassen Sie (nt N (0, sigma2w)), was bedeutet, dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das mit MA (1) bezeichnete 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell ist (xt mu wt theta1w) Das durchschnittliche Modell der 2. Ordnung, das mit MA (2) bezeichnet wird, ist (xt mu wt theta1w theta2w) , Bezeichnet mit MA (q) ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Bedingungen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (unsquared) Terme in Formeln für ACFs und Abweichungen klappt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) Modell. Für interessierte Schüler sind die Beweise dieser Eigenschaften ein Anhang zu diesem Handzettel. Beispiel 1 Angenommen, ein MA (1) - Modell ist x t 10 wt .7 w t-1. Wo (wt Overset N (0,1)). So ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die gerade dargestellte Handlung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis wird eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster liefern. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1). Für diese Simulation folgt eine Zeitreihenfolge der Stichprobendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für die Vergangenheit 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrundeliegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF, die unten gezeigt wird, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) Modell Für das MA (2) Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Beachten Sie, dass die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF für die Verzögerungen 1 und 2 sind. Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 So gibt ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen ein mögliches MA (2) - Modell an. Iid N (0,1). Die Koeffizienten sind 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, hat die theoretische ACF nur Nullwerte nur bei den Verzögerungen 1 und 2. Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind eine Auftragung der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich die Probendaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Probenwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wo w t iid N (0,1). Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie bei der Zeitreihen-Plot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Verzögerungen. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht genau mit dem theoretischen Muster übereinstimmt. ACF für allgemeine MA (q) Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen im Allgemeinen ist, dass es für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q ungleichen Autokorrelationen gibt. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) Modell, für jeden Wert von 1. Die reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0,5 für 1. Und dann 1 (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll bekommen (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird. Wir beschränken die MA (1) - Modelle auf Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 10,5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch konvergieren, verstehen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 sinken, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Invertierbarkeit ist eine Beschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terme abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA (1) Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Hinweis. Für ein MA (q) Modell mit einem bestimmten ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten Werte haben, so daß die Gleichung 1- 1 y - ist. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1 Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um das theoretische ACF zu zeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzögerungen von ACF für MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens Lags, die von 0 bis 10 reicht (1) mit theta1 0,7) abline (h0) fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Benannte acfma1 (unsere auswahl des namens). Der Plotbefehl (der 3. Befehl) zeichnet sich gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10 aus. Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf den Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und die Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10. Simulation standardmäßig 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurden die theoretischen ACF des Modells xt 10 Gew .-% w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (Verzögerungen, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, Haupt-ACF für MA (2) mit theta1 0,5, Thex20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, main simulierte MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10), MainACF für simulierte MA (2) Daten) Anhang: Nachweis der Eigenschaften von MA (1) Für interessierte Studierende sind hier Beispiele für theoretische Eigenschaften des MA (1) Modells. Abweichung: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1, der vorherige Ausdruck 1 w 2. Für irgendwelche h 2 ist der vorherige Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit der Gew. E (w k w j) 0 für jedes k j Da ferner wt den Mittelwert 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 hat. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Nun zeigen Sie die Invertierbarkeit für das Modell MA (1). Dann ersetzen wir die Beziehung (2) für w t-1 in Gleichung (1) (3) (zt wt theta1 (z - θaw) wt theta1z - θ2w) Zur Zeit t-2. Gleichung (2) wird wir dann die Beziehung (4) für wt-2 in Gleichung (3) (zt wt theta1z-tha21w wt theta1z - tha21 (z-tha1w) wt theta1z - θ12z theta31w) Wenn wir fortfahren würden ( Unendlich), würden wir die unendliche Ordnung AR-Modell erhalten (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, in der Größe zunehmen wird (unendlich), wenn wir uns zurück bewegen Zeit. Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 lt1. Dies ist die Voraussetzung für ein invertierbares MA (1) Modell. Infinite Order MA Modell In Woche 3 sehen wir, dass ein AR (1) Modell in eine unendliche Reihenfolge umgewandelt werden kann MA Modell: (xt-mu wt phi1w phi21w punkte phik1 w Punkte Summe phij1w) Diese Summierung von vergangenen weißen Rauschen ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Lets berechnen die Var (x t) mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Reihen, die (Phi1lt1) ansonsten die Reihe divergiert. NavigationPurpose: Check Randomness Autokorrelation Plots (Box und Jenkins, S. 28-32) sind ein häufig verwendetes Werkzeug für die Überprüfung der Zufälligkeit in einem Datensatz. Diese Zufälligkeit wird durch die Berechnung von Autokorrelationen für Datenwerte bei variierenden Zeitverzögerungen ermittelt. Wenn zufällig, sollten solche Autokorrelationen in der Nähe von Null für alle und alle Zeitverzögerung Trennungen. Wenn es nicht zufällig ist, dann wird eine oder mehrere der Autokorrelationen signifikant nicht null. Darüber hinaus werden Autokorrelationsdiagramme in der Modellidentifikationsstufe für Box-Jenkins autoregressive, gleitende durchschnittliche Zeitreihenmodelle verwendet. Autokorrelation ist nur ein Maß der Zufälligkeit Beachten Sie, dass unkorreliert nicht unbedingt zufällig bedeutet. Daten, die eine signifikante Autokorrelation aufweisen, sind nicht zufällig. Daten, die keine signifikante Autokorrelation aufweisen, können jedoch auf andere Weise noch nicht zufällig sein. Autokorrelation ist nur ein Maß der Zufälligkeit. Im Rahmen der Modellvalidierung (das ist die primäre Art der Zufälligkeit, die wir im Handbuch dokumentieren), ist die Überprüfung auf Autokorrelation typischerweise ein ausreichender Test der Zufälligkeit, da die Residuen aus einem schlechten Anpassungsmodell dazu neigen, nicht-subtile Zufälligkeit anzuzeigen. Allerdings erfordern einige Anwendungen eine strengere Bestimmung der Zufälligkeit. In diesen Fällen wird eine Batterie von Tests, die eine Überprüfung der Autokorrelation beinhalten können, angewendet, da Daten in vielen verschiedenen und oftmals subtilen Weisen nicht zufällig sein können. Ein Beispiel dafür, wo eine strengere Überprüfung auf Zufälligkeit erforderlich ist, wäre bei der Prüfung von Zufallszahlengeneratoren. Beispiel-Plot: Autokorrelationen sollten nahezu null für Zufälligkeit sein. Dies ist in diesem Beispiel nicht der Fall und somit fehlt die Zufälligkeitsannahme. Diese Stichprobenautokorrelationskurve zeigt, dass die Zeitreihe nicht zufällig ist, sondern vielmehr eine hohe Autokorrelation zwischen benachbarten und nahezu benachbarten Beobachtungen aufweist. Definition: r (h) versus h Autokorrelationsdiagramme werden durch vertikale Achse gebildet: Autokorrelationskoeffizient, wobei C h die Autokovarianzfunktion ist und C 0 die Varianzfunktion ist. Beachten Sie, dass R h zwischen -1 und 1 liegt. Beachten Sie, dass einige Quellen die verwenden können Folgende Formel für die Autokovarianz-Funktion Obwohl diese Definition weniger Bias aufweist, hat die (1 N) - Formulierung einige wünschenswerte statistische Eigenschaften und ist die am häufigsten in der Statistikliteratur verwendete Form. Siehe Seite 20 und 49-50 in Chatfield für Details. Horizontale Achse: Zeitverzögerung h (h 1, 2, 3.) Die obige Zeile enthält auch mehrere horizontale Referenzlinien. Die Mittellinie ist auf Null. Die anderen vier Zeilen sind 95 und 99 Vertrauensbänder. Beachten Sie, dass es zwei verschiedene Formeln für die Erzeugung der Vertrauensbänder gibt. Wenn die Autokorrelationskurve zum Testen auf Zufälligkeit verwendet wird (dh es gibt keine Zeitabhängigkeit in den Daten), wird die folgende Formel empfohlen: wobei N die Stichprobengröße ist, z die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und (alpha ) Ist das Signifikanzniveau. In diesem Fall haben die Vertrauensbänder eine feste Breite, die von der Stichprobengröße abhängt. Dies ist die Formel, die verwendet wurde, um die Vertrauensbänder in der obigen Handlung zu erzeugen. Autokorrelations-Plots werden auch in der Modellidentifikationsstufe für die Montage von ARIMA-Modellen verwendet. In diesem Fall wird ein gleitendes Durchschnittsmodell für die Daten angenommen und die folgenden Konfidenzbänder sollen erzeugt werden: wobei k die Verzögerung ist, N die Stichprobengröße ist, z die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und (alpha) ist Das Signifikanzniveau. In diesem Fall steigen die Vertrauensbänder mit zunehmender Verzögerung an. Das Autokorrelationsdiagramm kann Antworten auf die folgenden Fragen liefern: Sind die Daten zufällig eine Beobachtung im Zusammenhang mit einer angrenzenden Beobachtung Ist eine Beobachtung im Zusammenhang mit einer Beobachtung zweimal entfernt (usw.) Ist die beobachtete Zeitreihe weißes Rauschen ist die beobachtete Zeitreihe sinusförmig Ist die beobachtete Zeitreihe autoregressiv Was ist ein geeignetes Modell für die beobachtete Zeitreihe Ist das Modell gültig und ausreichend Ist die Formel s ssqrt gültig Wichtigkeit: Sicherstellung der Gültigkeit von Engineering-Schlussfolgerungen Zufälligkeit (zusammen mit festem Modell, fester Variation und fester Verteilung) ist Eine der vier Annahmen, die typischerweise allen Messprozessen zugrunde liegen. Die Zufälligkeitsannahme ist aus folgenden drei Gründen von entscheidender Bedeutung: Die meisten statistischen Standardtests sind abhängig von der Zufälligkeit. Die Gültigkeit der Testfolgerungen steht in direktem Zusammenhang mit der Gültigkeit der Zufälligkeitsannahme. Viele häufig verwendete statistische Formeln hängen von der Zufälligkeitsannahme ab, wobei die häufigste Formel die Formel für die Bestimmung der Standardabweichung des Stichprobenmittels ist: wobei s die Standardabweichung der Daten ist. Obwohl schwer verwendet, sind die Ergebnisse aus der Verwendung dieser Formel von keinem Wert, wenn die Zufälligkeitsannahme gilt. Für univariate Daten ist das Standardmodell Wenn die Daten nicht zufällig sind, ist dieses Modell falsch und ungültig, und die Schätzungen für die Parameter (wie die Konstante) werden unsinnig und ungültig. Kurz gesagt, wenn der Analytiker nicht auf Zufälligkeit prüft, dann wird die Gültigkeit vieler der statistischen Schlussfolgerungen verdächtig. Die Autokorrelationskurve ist eine hervorragende Möglichkeit, auf solche Zufälligkeiten zu prüfen. Correlogramm In der Datenanalyse beginnen wir gewöhnlich mit den beschreibenden statistischen Eigenschaften der Probendaten (z. B. Standardabweichung, Schräglage, Kurtosis, empirische Verteilung usw.). Diese Berechnungen sind zweifellos nützlich, aber sie berücksichtigen nicht die Reihenfolge der Beobachtungen in den Beispieldaten. Die Zeitreihenanalyse verlangt, dass wir auf die Ordnung achten und somit eine andere Art von beschreibenden Statistiken erfordern: Zeitreihen beschreibende Statistiken oder einfach Korrelogrammanalyse. Die Korrelogram-Analyse untersucht die zeitlich-räumliche Abhängigkeit innerhalb der Probendaten und konzentriert sich auf die empirische Auto-Kovarianz, Autokorrelation und verwandte statistische Tests. Schließlich ist das Korrelogramm ein Grundstein für die Identifizierung der Modell - und Modellreihenfolge. Was sagt ein Plot für Autokorrelation (ACF) und eine partielle Autokorrelation (PACF), erzählt uns von der zugrunde liegenden Prozessdynamik. Dieses Tutorial ist ein bisschen theoretischer als vorherige Tutorials in der gleichen Serie, aber wir werden unser Bestes tun, um die Intuitionen zu fahren Heim für Sie. Hintergrund Zuerst beginnen wir mit einer Definition für die Autokorrelationsfunktion, vereinfachen sie und untersuchen das theoretische ACF für einen ARMA-Prozess. Auto-Korrelationsfunktion (ACF) Per Definition wird die Autokorrelation für die Verzögerung k wie folgt ausgedrückt: Diese ACF-Kurve ist auch unendlich, aber die tatsächliche Form kann verschiedenen Mustern folgen. Ein AR-Prozess kann durch einen unendlichen MA-Prozess dargestellt werden. Der AR hat unendlichen Speicher. Aber die Wirkung verringert sich im Laufe der Zeit Exponentielle Glättungsfunktionen sind spezielle Fälle eines AR-Prozesses, und sie besitzen auch unendliche Erinnerungen Beispiel 4 - ARMA (p, q) Modell Inzwischen sehen wir, was die ACF-Auftragung eines reinen MA - und AR-Prozesses aussieht Wie, aber was ist mit einer Mischung aus den beiden Modellen Frage: Warum müssen wir ein Mischungsmodell wie ARMA betrachten, da wir jedes Modell als MA oder AR-Modell repräsentieren können Antwort: Wir versuchen, den Speicherbedarf zu reduzieren und die Komplexität des Prozesses durch Super-Auferlegung der beiden Modelle. Mit der MA (q) Autokorrelationsformel können wir die ARMA (p, q) Autokorrelationsfunktionen für ihre MA-Darstellung berechnen. Dies wird immer intensiv Einige von euch könnten sich fragen, warum wir havent verwendet VAR oder eine staatliche Raumdarstellung, um die Notationen zu vereinfachen. Ich habe einen Punkt gemacht, um im Zeitbereich zu bleiben und irgendwelche neuen Ideen oder Mathematik-Tricks zu vermeiden, da sie nicht unseren Absichten hier dienen würden: Imprägnieren Sie die genaue ARMA-Reihenfolge mit den ACF-Werten selbst, was alles andere als genau ist. Intuition: Die ACF-Werte können als Koeffizientenwerte des äquivalenten MA-Modells betrachtet werden. Intuition: Die bedingte Varianz hat keine Barriere (Wirkung) auf die Autokorrelationsberechnungen. Intuition: Das Langzeit-Mittel hat auch keine Barriere (Wirkung) auf die Auto-Korrelationen. Partielle Auto-Korrelations-Funktion (PACF) Inzwischen haben wir gesehen, dass die Identifizierung der Modellreihenfolge (MA oder AR) für nicht einfache Fälle nicht trivial ist, so dass wir eine andere Werkzeug-partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) benötigen. Die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) spielt eine wichtige Rolle bei der Datenanalyse, die darauf abzielt, das Ausmaß der Verzögerung in einem autoregressiven Modell zu identifizieren. Die Verwendung dieser Funktion wurde als Teil des Box-Jenkins-Ansatzes zur Zeitreihenmodellierung eingeführt, wobei man die entsprechenden Verzögerungen p in einem AR (p) - Modell oder in einem erweiterten ARIMA (p, d, q) - Modell durch Plotten bestimmen konnte Die partiellen Autokorrelationsfunktionen. Einfach gesagt, die PACF für lag k ist der Regressionskoeffizient für den k-ten Term, wie unten gezeigt: Die PACF geht davon aus, dass das zugrunde liegende Modell ein AR (k) ist und mehrere Regressionen verwendet, um den letzten Regressionskoeffizienten zu berechnen. Schnelle Intuition: Die PACF-Werte können (grob gesprochen) als die Koeffizientenwerte des äquivalenten AR-Modells gedacht werden. Wie ist die PACF hilfreich für uns Angenommen, wir haben einen AR (p) Prozess, dann wird die PACF signifikante Werte für die ersten p Lags haben und wird danach auf Null fallen. Was ist mit dem MA-Prozess Der MA-Prozess hat PACF-Werte ungleich Null für eine (theoretisch) unendliche Anzahl von Lags. Beispiel 4: MA (1)
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